Wiskunde draait om onbekenden. Wat is de x? Dat wil je graag te weten komen. Bij een som als 5=x+2 is dat niet zo moeilijk. Het antwoord is natuurlijk x=3. Maar wat als er meerdere onbekenden in het spel zijn?
Twee onbekenden berekenen is een stuk moeilijker. Toch is het niet onmogelijk. Met de manieren substitutie en eliminatie moet je uit een set vergelijkingen de onbekenden (x en y) kunnen achterhalen. Probeer beide maar eens uit. Je zult merken dat het op de ene manier soms gemakkelijker gaat dan de andere.
Substitutie
Een vraagstuk waarbij je substitutie kunt toepassen herken je aan een stelsel van meerdere vergelijkingen en minimaal twee onbekenden. In dit voorbeeld gaan we uit van de gemakkelijkste variant: twee onbekenden en twee vergelijkingen.
Vergelijking 1 { 4x + y = 2
Vergelijking 2 { x + 3y = 6
Je begint altijd met het ‘ombouwen’ van een van de vergelijkingen. Hiermee wordt bedoeld dat de vergelijking moet beginnen x= of y=. Deze nieuwe vergelijking kun je vervolgens invullen in de andere vergelijking. Je zult zien dat er hierdoor een onbekende (x of y) verdwijnt. Op deze manier houd je nog maar een onbekende over en is het niet moeilijk meer om deze te berekenen.
Voorbeeld
Stel je begint met vergelijking 2: x + 3y = 6 à x = 6 – 3y. Deze nieuwe vergelijking vul je in op de plek van de x in vergelijking 1: 4 (6 – 3y) + y = 2. Als je dit uitschrijft krijg je: 24 – 12y + y = 2. Uiteindelijk wordt dit: 24 – 11y = 2. Wanneer je de y nu vooraan zet, krijg je: 11y = 24 – 2 --> 11y = 22 --> y = 2. We weten nu de waarde van y. Als je deze invult in de eerste vergelijking zie je direct wat de waarde is van x: 4x + 2(de waarde van y)= 2. Nu is het niet moeilijk meer: 4x = 0. De oplossing is dus: x = 0 en y = 2.
Eliminatie
Je kunt het ook anders aanpakken. Door te elimineren zoek je naar twee dezelfde elementen in de vergelijkingen. Deze kun je vervolgens tegen elkaar wegstrepen. Hiervoor moet je een van de vergelijkingen vermenigvuldigen of delen om een zelfde soort vergelijking te krijgen.
Voorbeeld
Door vergelijking 1: 4x + y = 2 met drie te vermenigvuldigen, lijkt het ineens erg op vergelijking 2. Het wordt dan 12x + 3y = 6.
Vergelijking 1 {12x + 3y = 6
Vergelijking 2 {x + 3y = 6
Je ziet nu dat je 3y = 6 in beide vergelijkingen weg kunt strepen. Je houdt nu over:
Vergelijking 1 {12x = 0
Vergelijking 2 {x = 0
Als je de waarde van x (0) invult in een van de originele vergelijkingen zie je al snel de waarde van y. Vergelijking 2, x + 3y = 6, wordt dan: 0 + 3y = 6. De waarde van y is dus 2. Oplossing: x=0 en y=2.