Als je een functie differentiërt krijg je de afgeleide functie. Hiermee kun je zien wat de stijging op verschillende punten is van de oorspronkelijke functie. Als je dus de nulpunten in de afgeleide functie berekent, weet je waar de functie niet stijgt.
In de grafiek hiernaast zie je de functie f(x)=2x³+8x²-16x+24 als de blauwe lijn. Je ziet dat de lijn eerst stijgt, dan weer naar beneden gaat en vervolgens weer stijgt. Op de punten waar de grafiek van richting verandert, is de stijging nul. De roze lijn stelt de afgeleide functie voor ( f ‘(x)=6x²+16x-16) Je ziet nu dat op het punt waar de roze lijn de x-as raakt (x=0), de stijging in de oorspronkelijke functie (blauwe lijn) nul is.
Minima en maxima
De nulpunten van de afgeleide functie zijn vaak de maxima en minima van de oorspronkelijke functie. Hoger of lager dan dit punt komt de grafiek even niet. Hierna kan de grafiek soms wel weer gaan stijgen of dalen. Daarom worden deze maxima en minima vaak lokale maxima en minima genoemd. In dit geval zie je het maximum ter hoogste van de rode lijn aan de rechterkant. Het minimum is de rode lijn aan de linkerkant.
Om precies te weten bij welke waarde van x de stijging van de oorspronkelijke functie nul is, moet je y=0 invullen in de afgeleide functie. In dit geval dus: f(x)=6x²+16x-16=0
Deze opgave kun je gemakkelijk oplossen met de abc-formule:
Je ziet dus dat de stijging nul is op x=0.78 en x=-3.44. Om snel te kunnen bepalen wanneer de grafiek van de oorspronkelijke functie daalt of stijgt, kun je een tekenschema gebruiken. In dit schema vul je eerst de gevonden nulpunten in.
Om te weten of de grafiek stijgt of daalt voor en na de nulpunten hoef je alleen nog maar drie waarden van x te kiezen die tussen de nulpunten inliggen. Is de uitkomst hoger dan nul, dan vul je een ‘+’ in. Is de uitkomst lager, dan schrijf je een ‘-’.
Je ziet dat de uitkomst van x=-5 –256 is. Omdat dit een lagere waarde is dan 0 bij x=-3.44 stijgt de grafiek. Daarom zet je tussen de Y en de eerste 0 een +. De uitkomst van x=0 is –16. Dit is lager dan 0, dus zal de grafiek dalen. Je zet tussen de twee nullen een -. Als laatste bekijk je de uitkomst van x=0. Omdat dit 40 is, en dus hoger dan 0, zet je weer een plus. Aan de hand van dit tekenschema zou je heel snel een grafiek kunnen schetsen.