Om de verandering van een functie op een bepaald punt te berekenen gebruik je een afgeleide van de functie. De afgeleide is een andere functie die je aan de hand van de eerste functie kunt berekenen. Het berekenen van een afgeleide noem je differentiëren.

Een kwadratische functie heeft altijd een grafiek. Deze gaat omhoog en naar beneden. Maar aan de functie zelf kun je niet zien hoe hard de grafiek daalt of stijgt. Dit doe je normaal met een grafiek. Door de afgeleide van de functie te berekenen kun je dit ook zien als je geen grafiek bij de hand hebt.

Steilheid

f(x)=2x³+8x²-16x+3 De twee gekleurde lijnen stellen de steilheid van de functie voor op bepaalde punten

Je berekent eigenlijk niets anders dan de steilheid van de grafiek. In het voorbeeld hiernaast zie je bij x=7 een rode lijn. Deze lijn geeft de stijging aan op dat punt aan. Als je kijkt bij x=6 zie je een groene lijn. Ook dit geeft de stijging aan. Het verschil is, dat je de lijn steiler loopt. Dit betekent dat de groei op dat punt groter is.

De stijging kun je niet goed via de grafiek aflezen, dus moet je het berekenen. Dit doe je met een afgeleide functie. Als je deze functie eenmaal hebt, kun je berekenen hoe veel de oorspronkelijke functie stijgt. Dit is vooral handig als je de punten wilt weten waar de grafiek helemaal niet stijgt.

Regels

Om de afgeleide functie (wordt geschreven als f’) te berekenen moet je eerst een aantal regels weten. Hieronder vallen de somregel, de quotientregel, de productregel en de kettingregel. Met deze standaardregels moet je de meeste functies kunnen differentiëren.

Met deze standaardformules moet je de meeste afgeleide functies kunnen maken

Voorbeelden

Om de afgeleide van f (x)=5x² te berekenen kijk je naar de tweede regel in de lijst. Op deze manier wordt de afgeleide hiervan f ‘(x)=10x (twee keer vijf is tien en x² wordt x). Een moeilijker voorbeeld is f (x)= √9x. Het lijkt nu alsof we niet met de bovenstaande regels de afgeleide functie kunnen bereken. Maar als je weet dat een √6x hetzelfde is als 6x¹⁄ ² is het beter te doen. De af te leiden functie is dus f (x)= 6x¹⁄ ². Hieronder zie je hoe deze functie berekend wordt.